怎么求复合函数的单调区间

1、怎么求复合函数

复合函数是高等数学中一个非常重要的概念，它在微积分、微分方程等数学领域中都有广泛的应用。怎么求复合函数呢？下面我为大家详细解释一下。

我们来了解什么是复合函数。所谓复合函数，就是将一个函数的输出值作为另一个函数的输入值，两个函数“合成”成为一个新的函数。例如，若函数g的定义域为R，值域为R，函数f的定义域为R，值域为R，那么可以定义出一个新函数h(x)，其定义域为R，值域为R，定义为h(x)=g(f(x))。这里，f(x)是函数f的输出值，也就是g(x)的输入值。

接下来，我们来看看怎么求复合函数。给定两个函数f(x)和g(x)，我们需要求出它们的复合函数h(x)=g(f(x))。具体步骤如下：

1. 确定函数f(x)和g(x)的定义域和值域：函数f(x)的定义域为A，值域为B；函数g(x)的定义域为B，值域为C。

2. 将函数f(x)的输出值代入函数g(x)中，并计算出g(f(x))的值：将函数f(x)的所有输出值代入函数g(x)中，得到一系列g(f(x))的值；

3. 将得到的g(f(x))的定义域和值域写出来：g(f(x))的定义域与f(x)的定义域相同，为A；g(f(x))的值域与g(x)的值域相同，为C。

4. 将g(f(x))定义为一个新函数h(x)：h(x)=g(f(x))，这里的x为变量。

需要注意的是，函数的复合顺序是有先后之分的，即h(x)=f(g(x))和h(x)=g(f(x))是不同的函数。因此，在求复合函数时，需要按照特定的顺序进行计算。

求复合函数的方法不算复杂，但需要注意的是复合函数的定义域和值域改变了，因此在计算中需要特别注意，以免出现错误。同时，在应用中，我们需要根据实际问题来选择合适的函数进行复合，以达到更好的效果。

2、怎么求复合函数的单调区间

复合函数指的是由一个函数获得一个数，再用这个数作为自变量带入到另一个函数中去的过程。当我们需要计算复合函数的单调区间时，主要是想知道函数的自变量取值范围，使得函数的值是单调递增或单调递减的。下面让我们来看看怎么求复合函数的单调区间。

我们需要知道单调函数的定义。单调函数指的是在某一区间内，对于任意两个自变量，函数值的大小关系与自变量的大小关系相同。也就是说，如果f(x)是单调递增的，则对于任意的x1和x2，只要x1f(x2)。

我们需要注意复合函数中的求值顺序。对于复合函数f(g(x))，我们需要先求g(x)的值，再将g(x)的值作为f(x)的自变量，计算f(g(x))的值。因此，我们可以按照以下步骤来求复合函数的单调区间：

1. 先求出函数g(x)的单调区间。

2. 将函数g(x)的单调区间代入函数f(x)中，求出f(g(x))的值。

3. 判断f(g(x))的单调性。如果f(g(x))是单调递增的，则g(x)的单调区间就是f(g(x))的单调区间。如果f(g(x))是单调递减的，则需要将g(x)的单调区间按降序排列，得出f(g(x))的单调区间。

举个例子来说，假设我们要求复合函数f(g(x))的单调区间，其中g(x)=2x 1，f(x)=x^2。按照上述步骤，我们可以进行如下计算：

1. 函数g(x)是单调递增的，其单调区间是(-∞, ∞)。

2. 代入函数f(x)中得到f(g(x))=(2x 1)^2=4x^2 4x 1。

3. 函数f(g(x))是单调递增的，因此g(x)的单调区间也是f(g(x))的单调区间，即(-∞, ∞)。

通过以上计算，我们得出了复合函数f(g(x))的单调区间为(-∞, ∞)，也就是说，当g(x)的取值范围为(-∞, ∞)时，f(g(x))是单调递增的。

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